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Springer-Lehrbuch
Jens Carsten Jantzen · Joachim Schwermer
Algebra
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Prof. Dr. Jens Carsten Jantzen
Institut for Matematiske Fag
Aarhus Universitet
Ny Munkegade
DK-8000 Aarhus, Denmark
e-mail: jantzen@imf.au.dk
Prof. Dr. Joachim Schwermer
Institut für Mathematik
Universität Wien
Nordbergstraße 15
A-1090 Wien, Österreich
e-mail: joachim.schwermer@univie.ac.at
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Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliograe; detaillierte bibliograsche
Mathematics Subject Classication (2000): 11-xx, 12-xx, 13-xx, 16-xx, 18-xx, 20-xx
ISBN-10 3-540-21380-5 Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN-13 978-3-540-21380-2 Springer Berlin Heidelberg New York
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Vorwort
Das Ziel dieses Buches ist es, in die Begrie und Methoden der Algebra einzuführen
und wesentliche Ergebnisse darzustellen. Es enthält den inzwischen klassischen Kanon, der
von Begrisbildungen wie Gruppe und Ring ausgeht und hin zu den Körpererweiterungen
und der Galoistheorie führt. Darüber hinaus gestattet das Buch Einblicke in verschiedene
Entwicklungen innerhalb der Algebra, die mit anderen Gebieten der Mathematik stark
verochten sind.
Der oben genannte Kanon wird in den ersten sechs Kapiteln des Buches dargestellt.
Die folgenden vier Kapitel behandeln zentrale Teile der Theorie der Moduln, Algebren und
Ringe. In ergänzenden Abschnitten werden Ausblicke auf weiterführende Themen gegeben.
Algebraische Begrie spielen eine tragende Rolle in ganz unterschiedlichen Bereichen der
Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Im Rahmen dieses Buches ist es nicht möglich, alle
Aspekte zu behandeln. Das (im folgenden skizzierte) Ergebnis unserer Auswahl ist sicher
von subjektiven Gesichtspunkten und persönlichen Erfahrungen geprägt worden.
Historisch gesehen sind große Teile der Algebra in engem Zusammenspiel mit der Zah-
lentheorie und der algebraischen Geometrie entwickelt worden. Wir betonen hier den Zu-
sammenhang mit arithmetischen Fragestellungen und benutzen oft Beispiele aus diesem
Umfeld, um allgemeine Begrie der Algebra zu erläutern. Zentrale Begrie der algebrai-
schen Zahlentheorie sind der Gegenstand des Kapitels X über ganze Ringerweiterungen
und Dedekindringe, in dem auch die Zerlegungsgesetze behandelt werden. Auch die im vor-
angehenden Kapitel IX entwickelte Theorie der endlich dimensionalen Divisionsalgebren
über einem Körper gehört zu den Kindern der Zahlentheorie. Hier waren Fragen in der
Klassenkörpertheorie der Ausgangspunkt für einen bedeutenden Aufschwung in der Theo-
rie der hyperkomplexen Systeme, wie Algebren damals genannt wurden.
Dem gegenüber räumen wir den aus der algebraischen Geometrie hervorgegangenen Be-
reichen der kommutativen Algebra wenig Platz ein und gehen nicht über den Hilbertschen
Basissatz hinaus. Wir halten es für angemessen, daß diese Theorie in engem Zusammenhang
mit der algebraischen Geometrie entwickelt wird. Eine solche Aufgabe würde jedoch den
Rahmen dieses Buches sprengen.
Dagegen betonen wir hier nichtkommutative Aspekte stärker als in vielen Lehrbüchern
der Algebra. Hierzu gehören neben der bereits erwähnten Theorie der Divisionsalgebren
die Abschnitte über artinsche Ringe in Kapitel VIII und dessen Supplemente sowie die
Beschreibung von Schiefpolynomringen, die eine zentrale Rolle in der Theorie der noether-
schen, nicht artinschen Ringe spielen.
Im Rahmen der Gruppentheorie gehen wir über das Übliche hinaus, indem wir Gruppen
mit Erzeugenden und Relationen diskutieren und dann die allgemeinen linearen Gruppen
über Körpern näher untersuchen. Letzteres wird dann wieder vom arithmetischen Blick-
winkel aufgenommen, wenn diese Gruppen über Zahlringen behandelt werden.
Einige ergänzende Abschnitte sind durch die Darstellungstheorie von endlichen Gruppen
und, allgemeiner, von endlich dimensionalen Algebren motiviert. Dabei verzichten wir auf
die Charaktertheorie, bei der wir auf gute Monographien verweisen können. Statt dessen
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Vorwort
legen wir Gewicht auf modultheoretische Aspekte wie projektive Moduln und Erweiterun-
gen. Deren allgemeine Diskussion in den Supplementen zu Kapitel VII weist auch in die
Richtung der homologischen Algebra. Im Anschluß an Kapitel VIII geben wir Ausblicke
auf die Theorie von Frobenius-Algebren und die Darstellungstheorie von Köchern. Dabei
geht es um Klassen von Algebren, die eine besondere Rolle in der Darstellungstheorie von
endlichen Gruppen und von Lie-Algebren spielen, die fundamental in der allgemeinen Dar-
stellungstheorie von endlich dimensionalen Algebren sind und die interessante geometrische
Anwendungen haben.
Am Schluß des Buches haben wir für die Supplemente eine Liste mit weiterführender
Literatur zusammengestellt, die ein vertieftes Studium der betrachteten Gebiete gestattet.
In diesem Buch wird genügend Material für eine zweisemestrige Vorlesung bereitgestellt.
Auch wird den Studierenden Sto zum Selbststudium angeboten. Zahlreiche Beispiele und
Übungsaufgaben sollen das Verständnis fördern.
Aarhus und Wien, April 2005
Jens Carsten Jantzen
Joachim Schwermer
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